u₀ = 1, uₙ₊₁ = ½(uₙ + 2/uₙ). Montrer que (uₙ) converge et déterminer sa limite.
Cette suite converge vers √2 par convergence monotone…
Voici une intuition générale.
Donc la limite est √2. (réponse simplifiée)
Minorée par √2
Par récurrence uₙ ≥ √2, et uₙ₊₁ − uₙ = (2 − uₙ²)/(2uₙ) ≤ 0 : décroissante.
Limite
Décroissante + minorée ⇒ converge. ℓ = ½(ℓ + 2/ℓ) ⇒ ℓ² = 2 ⇒ ℓ = √2.